www.cheops-pyramide.ch Copyright 2006 Franz Löhner und Teresa Zuberbühler Berechnungen und ZahlenmaterialBerechnungen zu Reibungskoeffiezienten und KraftaufwandAuf dieser Seite wird berechnet, wie viele Schlepper es mit und ohne die umlenkende Seilrolle braucht, um einen 2.5-Tonnen Block die 52° steile Pyramidenflanke hinaufzuziehen. Die Aufstellungen auf dieser Seite basieren auf Berechnungen von Dr. Heribert Illig und Prof. Dr. Dipl. Ing. H.U. Niemitz [1]. Ergebnis - Faktoren - Physikalische Begriffe - Schmiermittel - Zugkraft Schlepper - Kraftaufwand schiefe Ebene ohne Seilrolle - Zugkraft und Reibung - Zugkraft und Haftung - Einbezug Eigengewicht und Schwerkraft - Anzahl Schlepper mit / ohne Seilrolle - Kontrolle: höhere Reibungskoeffizienten - Kontrolle: mehr Zugkraft pro Schlepper - Fazit - Riesige Granitsteine - Quellen
Ergebnisse in KürzeMit den unterstehenden Berechnungen [1] wird der
Nachweis erbracht, dass ein 2.5 Tonnen-Steinblock samt Schlitten mit nur
46 Mann auf der Pyramidenflanke (Steigungswinkel 52° = 46.6%) hinaufgezogen
werden kann, und zwar nur Dank der umlenkenden Seilrolle.
Durch dieses System können die Schleppmannschaften auf der schiefen
Ebene unter Einsatz ihres Körpergewichts - nicht nur mit ihrer Kraft
- die Last hinaufziehen. Dies indem sie hinabmarschieren! Illustration Für die Cheops-Pyramide ergeben sich dann folgende Mannschaftsstärken (Anzahl Mann pro 2.5 Tonnen-Block):
Kann diese Methode auch für die riesige 50-Tonnen Granitblöcke
der Königskammer verwendet werden? Berechnungen zeigen, dass dies
mit Gegengewichten und zusätzlichen Schleppern durchaus möglich
war - siehe Berechnungen weiter unten
Welche Faktoren spielen bei der Berechnung des Kraftaufwandes mit?
Was ist Reibung und was ist ein Reibungskoeffizient?Reibung ist der Verlust an mechanischer Energie beim Ablaufen, Beginnen oder Beenden einer Relativbewegung sich berührender Stoffbereiche. Wie hoch die Reibung ist hängt von den Eigenschaften der sich reibenden Körper ab, wie etwa ihrer Rauheit. Um diese Reibung zu vermindern verwendet man in der Technik Schmiermittel. Der Reibungskoeffizient ist ein Mass dafür, wie gross die Reibkräfte sind, die zwischen zwei Festkörpern wirken. [4]
Reibung und SchmiermittelSeilreibung: Lagerreibung des Umlenkblocks:
Achtung - diese Werte sind nicht der Haftreibungszahl gleichzusetzen,
die wesentlich höher ist. Etwa bei Holz auf Holz ist die Haftreibung
(trocken) 0,40 bis 0,75! Schmiermittel: - Reibungskoeffizient zwischen Schlitten und Schiene μs
= 0,04 Diese Zahlen für Reibung sind theoretischer Natur, sie lassen sich durch die Schmierung der Geleise noch weiter vermindern. 1. Verminderung der Reibung zwischen Schlitten und Schienen: 2. Verminderung der Reibung der Lager der Seilrolle:
Zugkraft der SchlepperFür die Schlepper nehmen wir eine Zugkraft von 12kp an (=117.7N
/ 1kp = 9,80665 g·m/s² / 1N = 1 kg m/s²). Dieser Wert
war einst verbindlich für das Treideln französischer Schleppkähne
[3]. In der Literatur werden Werte von 10
bis 15 kp gerechnet (weiter unten - siehe Berechnungen
mit 15kp anstatt 12kp). Wir verwenden die tieferen Werte
und berechnen, ob es auch so funktioniert. Beim Steinschleppen handelt es sich wie beim Treideln um eine Dauerleistung. Der Wert liegt deshalb auch deutlich unter der maximalen Zugkraft, die eine Person aufbringen kann. Der Prozess des Schleppens sollte ausserdem möglichst selten unterbrochen werden, denn bei jedem Neustart des Zugschlittens ist zunächst die sogenannte Haftreibung zu überwinden. Zur Kontrolle:
K = Kraft / G = Gewicht / μs = Reibungskoeffizienten (zwischen Schlitten und Schienen)
Kraftaufwand auf der schiefen Ebene ohne SeilrolleEin Stein fällt mehr "ins Gewicht" je steiler er angehoben wird.
P = parallel zur schiefen Ebene wirkende
Kraftkomponente (oder Hangabtriebskraft) Das heisst je steiler der Winkel ist (rechts), desto schneller kommt der Stein ins Rutschen und desto mehr beschleunigt er sich. Wie jeder aus eigener Anschauung weiss, braucht es ausserdem
um einen Stein hinauf zu schieben mehr Kraft je steiler der Hang ist (=
grösserer Steigungswinkel). Wie wir weiter unten
sehen werden, kommt der Stein ohne die Hilfe der Seilrolle ab einem gewissen
Winkel ins Rutschen. Ohne Seilrolle gilt folgende Formel:
Zugkraft in Abhängigkeit von ReibungDie Formel muss um den Lagerreibungskoeffizienten μz
erweitert werden, um die Seilrolle ins Spiel zu bringen. Mit wachsendem
Reibungskoeffizienten steigt hier die notwendige Kraft markant (siehe
letzte Kolonne der Tabelle 1).
Folgende Werte werden verwendet: TABELLE 1 (Zahlen nach [1] S. 76)
Der Wert 0,00 (erste Kolonne) zeigt, welche Zugkräfte ohne die umlenkende Seilrolle entsteht. Der Wert 0,04 (dritte Kolonne) wird als Reibungskoeffizient mit Seilrolle angenommen. Die Werte der dritten Kolonne sind höher, da wir das Eigengewicht und die Schwerkraft noch nicht miteinbezogen haben (siehe unten).
Zugkraft in Abhängigkeit von Haftung - wann kommt man ins Rutschen?Bei den Berechnungen muss nun noch der Haftreibungskoeffizient μo
berücksichtigt werden. Das heisst, die Zugkraft hängt von der
Bodenhaftung auf der Schräge ab. Für eine ungetreppte Rampe
kann der Wert von μo = 0,2 genommen werden.
Bei einem Gewicht G = 60kg kommt der Schlepper bei 20° bezw. bei besserer Haftung bei 30° ins Rutschen (Kraft = negativ, auf der Tabelle mit - eingezeichnet). TABELLE 2 (Zahlen nach [1] S. 77)
Einbezug des Eigengewichts und der SchwerkraftJe steiler die Rampe ist, desto besser können die Schlepper ihr
eigenes Gewicht (ca. 60 kg) "in die Waagschale" werfen, und
es auf dem Weg nach unten einsetzen.
TABELLE 3 (Zahlen nach [1] S. 80)
Fazit: Bei 52° kann der Schlepper also 54,7 kg seiner 60 kg einsetzen. Bei 90° hätten wir einen Aufzug, bei dem der Schlepper seine 60kg als reiner Ballast im Förderkorb einsetzen könnte. Mit der Seilrolle kann der Schlepper aber noch zusätzlich seine Zugkraft einbringen, das heisst er setzt nicht nur sein Gewicht ein, sondern zieht noch kräftig am Seil [1].
Berechnung der benötigten Anzahl Schlepper mit und ohne SeilrolleOhne Seilrolle rechnen Ägyptologen mit Rampensteigungen von 8 bis 12° (7.2% bis 10.8% Steigung) [3] die noch mit Schleppmannschaften zu bewältigen wären. Die Berechnungen auf dieser Seite zeigen jedoch deutlich, dass ab 5° Steigung mit 50 Schleppern gerechnet werden muss, bei 10° sogar schon über 400 Schlepper für einen 2.5 Tonnen-Block! Nicht vorstellbar, wie viele Leute es brauchen würde, um einen 40-Tonnen Granitblock hinauf zu schleppen! TABELLE 4 (Zahlen nach [1] S. 80) mit μo = 0,2 * Mannschaftsstärken: Links und rechts läuft je eine Team von Schleppern hinunter. Ausserdem ziehen je zwei Mann nebeneinander am Strick. Mit Hilfe der umlenkenden Seilrolle können Steigungen von 52° und mehr überwunden werden. Dies vor allem, weil dann die Schlepper abwärts laufen können und dabei Dank der Schwerkraft weniger Muskelkraft aufwenden müssen.
Zur Kontrolle: Erhöhung der ReibungskoeffizientenBerechnungen mit andern Reibungskoeffizienten zeigen, dass die Steigung der Pyramidenflanke auch mit höheren Werten (= schlechteren Werten) bewältigt werden kann. Bei einem Lagerreibungskoeffizient μz von 0,1, der für die Ägypter auf jeden Fall erreichbar war, errechnen sich anstatt 46 Mann nun 51 Mann. Das heisst eine Verschlechterung des Reibungskoeffizienten von 0,04 auf 0,1 (= + 150%) ergibt 5 Mann mehr (= + 11 %). 2781 kp : 54,7 kp ≈ 51 Schlepper (2781 kp siehe Tabelle 1, 5. Kolonne / 54,7 kp siehe Tabelle 3, 1. Kolonne)
Zur Kontrolle: Erhöhung der Zugkraft der Schlepper auf 15kpWir berechnen nochmals die Anzahl benötigter Schlepper, aber diesmal nehmen wir eine höhere Zugkraft pro Person an, anstatt mit 12kp rechnen wir mit 15kp, das heisst die Schlepper setzen mehr Muskelkraft ein. Als Beispiel nehmen wir die Zahlen eines bekannten amerikanischen Ägyptologens, von Mark Lehner [6]. Auf der geraden Ebene rechnet er mit 7.5 Mann pro 2.5 Tonnen. Wenn man sonst die gleichen Werte für Reibung etc. für die Berechnungen nimmt, so ergibt das 15kp pro Schlepper (siehe 2. Kolonne der Tabelle 5). Um auf diese Werte zu kommen muss Mark Lehner einen Haftreibungskoeffizienten μo = 0.25 angenommen haben (Tabelle 2, 2. Kolonne). Da Mark Lehner im Text als Kontrollwert den bekannten Fries aus dem Grab des Djehutihotep in Deir El Berscheh erwähnt, der 172 Schlepper mit einer 60 Tonnen-Statue zeigt, berechnen wir zur Vorsicht noch den Reibungskoeffizienten μs und erhalten 0,043 - gerechnet haben wir auf dieser Seite mit μs= 0,04 (172 x 15kp = 2580kp / 2580 : 60'000 = 0,043). Mehr dazu. Bei einer Steigung von ca. 6° rechnet er bei einem 2.5 Tonnen-Block mit 20 Mann, die einen 333m-Weg in 19 Minuten schaffen. Unsere Berechnungen ergeben bei seinen Werten jedoch schon bei 5° ein Zahl von 36.5 Schlepper (Tabelle 2, zweite Kolonne für 15kp). Mark Lehner hat, wie viele andere Theoretiker, eindeutig die Kräfte, die sich auf einer schiefen Ebene entwickeln viel zu wenig berücksichtigt! TABELLE 5 [7] Trotz Erhöhung der Zugkraft pro Mann von 12kp auf 15kp braucht es mit Löhners Seilrolle immer noch ab 5° weniger Schlepper als ohne, nämlich nur 23 anstatt 36 Mann!
Fazit
Der Seilrollenbock kann ebenfalls auf den kurzen Transportrampen vom
Hafen zum Bauhof und von den pyramidennahen Steinbrüchen zum Bauhof
mit Vorteil eingesetzt werden. Auch in den Steinbrüchen von Assuan
oder beim Beladen der Schiffe ist der Seilrollenbock ein nützliches
Hilfsmittel. Diese Berechnungen zeigen wieder mit aller Deutlichkeit, dass Rampen
mit mehr als 5° Steigung schlichtweg nicht machbar sind.
Transport der Granitblöcke mit einem Schwerlastenaufzug mit GegengewichtenKann diese Methode auch bei den schweren Granitsteinen angewendet werden,
welche 40 bis 50 Tonnen wiegen und für die Königskammer verbaut
wurden? Ja - aber mit Gegengewichten und grösseren Schleppmannschaften.
Wir verwenden 8 grosse Steine als Gegengewichte (von je 5.6 Tonnen) und
die Differenz an Gewicht wird von zwei Schleppmannschaften hochgezogen.
Diese Differenz beträgt je nach Grösse des Granitsteins 3.2
bis 7.2 Tonnen (48-52t minus 44.8t). Das heisst, die zwei Mannschaften
links und rechts schleppen also je nach Grösse des Granitriegels
1.6 bis 3.6 Tonnen. Unsere Berechnungen ergeben, dass es zwischen 32 und
64 Schlepper pro Team braucht. TABELLE 6: Anzahl Schlepper bei verschiedenen Gewichtklassen [7] Ohne Gegengewichten aber unter Einsatz der Seilrolle würden folgende Mannschaftsstärken gebraucht:
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